Задолженность по газу, алименты ...

Здравствуйте, если можете помогите мне пожалуйста. У меня такая ситуация:
Первое: у меня есть квартира, которая была приобретена вместе с женой (хотя денежные средства на покупку квартиры были выделены моими родителями), прожив с ней семь лет мы развелись (есть совместаная дочь). После развода я оставил квартиру жене с дочерью, а сам уехал в другой город и проживаю в нем (то есть в приобретенной нами квартире не проживаю более 3-х лет). Моя бывшая жена гражданка Украины была прописана в нашей квартире в ее виде на жительство в РФ, но этот вид был просрочен и она его не стала продлять, но также оставалась проживать в квартире. Недавно она уехала на Украину, а дочка проживает вместе с моими родителями в их квартире в том же городе где была приобретена квартира (она родилась в РФ, учиться в РФ, получала пенсию по инвалидности и получает детское пособие в РФ). Сейчас пришло исковое заявление о задолженности по предоставлению газа на вышеупомянутую квартиру на мое имя (договор на поставку газа был составлен на мое имя в момент приобретения квартиры и больше не переписывался) за период, когда я не проживал в данной квартире, хотя в ней был и остаюсь прописан. Вправе ли суд с меня взыскивать задолженность, если я не пользовался газом, так как я не проживал в данной квартире (свидетели что я там не проживал имеютя)?
Второе: Из вышесказанного становить понятно, что моя бывшая жена является гражданкой Украины и проживает там, наша совместная дочь проживает с моими родителями в РФ, у неё свидетельство о рождении выдано в РФ (уже прожила 10 лет), учиться в школе в РФ, получала пенсию по инвалидности в РФ и получает детское пособие в РФ. Вправе ли моя бывшая жена потребовать с меня алименты, если она проживает на Украине, а моя дочь живет и учиться в РФ?
И еще (наверное уже достал своими вопросами) нужно ли мое разрешение на вывоз моей несовершеннолетней дочери заграницу (Украина) или моя бывшая жена (гражданка Украины) может её вывести без всякого разрешения и будет права??
Буду очень благодарен за Ваши ответы, и еще хотел бы Вас попросить, если можно, укажите стати или другие правовые акты, на которых основывались Ваши ответы. СПАСИБО!!!