Взыскание процессуальных издержек

Это регламентируется не законом, а соглашением с адвокатом. Почитайте его. Если данное соглашение предусматривает то, что адвокат после вынесения оправдательного приговора занимается взысканием убытков, то да, должен заниматься адвокат. Деньги должны быть взысканы в Вашу пользу, но этим же соглашением Вы можете предусмотреть и другого получателя, в том числе и адвоката.