Возмещение ущерба

1. Если у вновника имеется полис ОСАГО, то страховая компания, за которой полис числится, должна по нему отвечать - почему виновник где-то незарегистрирован (такие ситуации бывают, к примеру, когда агент продает полис и не информирует об этом свою страховую компанию) - Вас не должно волновать;
2. Основывать размер Ваших требований можно на основе экспертизы, которую Вы можете заказать. Чтобы ее провести, понадобятся документы ГАИ, которые оформлялись после ДТП
(с перечислением порвеждений), фотографии поврежденной машины, если есть, можете обратиться в ремонтную компанию, запросив у них дубликат заказ-наряда и иных документов по ремонту.
3. 100%, что взыскивать придется через суд путем подачи иска. При этом требовать можно как со страховой виновника, так и с него самого

Вам нужна не справка экспертной организации, а копия акта осмотра и отчет оценщика о стоимости восстановительного ремонта (если он составлялся) В соответствии с законодательством РФ оценщик обязан хранить эти документы 3 года.
Есть, правда, маленькая проблема - поскольку заказчиком оценки выступал скорее всего страховщик, оценщик может отказаться выдать копию отчета по первому требованию. Но вот акт осмотра он (либо страховщик) выдать Вам обязан. На основе этого акта обращайтесь к другому специалисту, пусть он определяет размер ущерба.